第四百七十八章 平均信息量

    如果随机变量x是在s={，2，…，}里取值，那么可以证明，熵值h(x)的取值必定在0和log之间。当随机变量x在s上均匀分布的时候，h(x)取最大值log；当x以百分之百的概率取s中的某个数值的时候，h(x)取最值0。前者对应于“不确定性”最大的x，而后者对应于“不确定性”最的（即完全可以确定的）x。所以，也可以把熵值h(x)理解为对随机变量x的“不确定性“（或“不可预测性”）的度量。

    因此，随机变量所包含的“信息量”和它的“不确定性”其实是同一个概念。一个随机变量越难以确定，它所包含的信息量越多。这种认识对初次接触熵的人来或许不够自然。但仔细体会一下，确实是有道理的。如果俺想告诉你的事你很容易猜到，或者你不用问几个问题就能知道，那俺要的话对你来就没多少信息量。

    在熵的定义里－log(a)又是什么物理意义呢？当然这个数字可以理解为a编码所需要的比特数（在前面例子里，我们能看到以概率出现的事件，需要用3个比特来编码）。换一个角度理解，－log(a)可以理解为a的“惊度”。一个出现概率极低的事件a，比如世界末日，它一旦出现就会令人非常惊，所以对应的－log(a)就会很大；而如果a出现的概率很大，它的出现就不会太令人吃惊，所以对应的－log(a)就会很。因此，熵值h(x)也可以理解为随机变量x的“平均惊度”。